Proper Hamiltonian Cycles in Edge-Colored Multigraphs

A $c$-edge-colored multigraph has each edge colored with one of the $c$ available colors and no two parallel edges have the same color. A proper Hamiltonian cycle is a cycle containing all the vertices of the multigraph such that no two adjacent edges have the same color. In this work we establish sufficient conditions for a multigraph to have a proper Hamiltonian cycle, depending on several parameters such as the number of edges and the rainbow degree.Comment: 13 page

Partitioning a graph into highly connected subgraphs

Given $k\ge 1$, a $k$-proper partition of a graph $G$ is a partition ${\mathcal P}$ of $V(G)$ such that each part $P$ of ${\mathcal P}$ induces a $k$-connected subgraph of $G$. We prove that if $G$ is a graph of order $n$ such that $\delta(G)\ge \sqrt{n}$, then $G$ has a $2$-proper partition with at most $n/\delta(G)$ parts. The bounds on the number of parts and the minimum degree are both best possible. We then prove that If $G$ is a graph of order $n$ with minimum degree $\delta(G)\ge\sqrt{c(k-1)n}$, where $c=\frac{2123}{180}$, then $G$ has a $k$-proper partition into at most $\frac{cn}{\delta(G)}$ parts. This improves a result of Ferrara, Magnant and Wenger [Conditions for Families of Disjoint $k$-connected Subgraphs in a Graph, Discrete Math. 313 (2013), 760--764] and both the degree condition and the number of parts are best possible up to the constant $c$

Connected Tropical Subgraphs in Vertex-Colored Graphs

International audienceA subgraph of a vertex-colored graph is said to be tropical whenever it contains each color of the graph. In this work we study the problem of finding a minimal connected tropical subgraph. We first show that this problem is NP-Hard for trees, interval graphs and split graphs, but polynomial when the number of colors is logarithmic in terms of the order of the graph (i.e. FPT). We then provide upper bounds for the order of the minimal connected tropical subgraph under various conditions. We finally study the problem of finding a connected tropical subgraph in a randomly vertex-colored random graph

Partitioning a graph into highly connected subgraphs

Abstract Given k ≥ 1, a k-proper partition of a graph G is a partition P of V (G) such that each part P of P induces a k-connected subgraph of G. We prove that if G is a graph of order n such that δ(G) ≥ √ n, then G has a 2-proper partition with at most n/δ(G) parts. The bounds on the number of parts and the minimum degree are both best possible. We then prove that if G is a graph of order n with minimum degree where c

Existence de cycles et chaines dans des graphes orientes ou non en liaison avec des parametres de ces graphes (connexite, stabilite, degre,...)

SIGLECNRS T 57674 / INIST-CNRS - Institut de l'Information Scientifique et TechniqueFRFranc

Problemes extremaux dans les graphes orientes

SIGLECNRS T Bordereau / INIST-CNRS - Institut de l'Information Scientifique et TechniqueFRFranc

Arbres proprement et faiblement arêtes-coloriées dans les graphes et multigraphes arêtes-coloriées.

Dans la présente thèse nous étudions l'extraction d'arbres dans des graphes arêtes-coloriés.Nous nous concentrons sur la recherche d'arbres couvrants proprement arête-coloriés et faiblement arête-coloriés, notée PST et WST. Nous montrons que les versions d'optimisation de ces problèmes sont NP-Complete dans le cas général des graphes arêtes-coloriés, et nous proposons des algorithmes pour trouver ces arbres dans le cas des graphes arêtes-coloriés sans cycles proprement arêtes-coloriés.Nous donnons également quelques limites de nonapproximabilité. Nous proposons des conditions suffisantes pour l'existence de la PST dans des graphes arêtes-coloriés (pas forcément propre), en fonction de différents paramètres de graphes, tels que : nombre total de couleurs, la connectivité et le nombre d'arêtes incidentes dedifférentes couleurs pour un sommet. Nous nous intéressons aux chemins hamiltoniens proprement arêtes-coloriés dans le casdes multigraphes arêtes-coloriés. Ils présentent de l'intérêt pour notre étude, car ce sontégalement des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés. Nous établissons des conditions suffisantes pour qu'un multigraphe contienne un chemin hamiltonien proprement arêtes-coloriés, en fonction de plusieurs paramètres tels que le nombre d'arêtes, le degré d'arêtes, etc. Puisque l'une des conditions suffisantes pour l'existence des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés est la connectivité, nous prouvons plusieurs bornes supérieures pour le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour la k-connectivité-propre. Nous énonçons plusieurs conjectures pour les graphes généraux et bipartis, et on arrive à les prouver pour k = 1.In this thesis, we investigate the extraction of trees from edge-colored graphs. We focus on finding trees with properties based on coloring. Namely, we deal with proper and weak proper spanning trees, denoted PST and WST.- We show the optimization versions of these problems to be NP-hard in the general case of edge-colored graphs and we provide algorithms to find these trees in the case of edge-colored graphs without properly edge-colored cycles. We also provide some nonapproximability bounds.- We investigate the existence of a PST in the case of edge-colored graphs under certain conditions on the graph, both structural and related to the coloration. We consider sufficient conditions that guarantee the existence of a PST in edge-colored (not necessarily proper) graphs with any number of colors. The conditions we consider are combinations ofvarious parameters such as : total number of colors, number of vertices, connectivity and the number of incident edges of different colors to the vertices.- We then consider properly edge-colored Hamiltonian paths in the edge-colored multigraphs, which are relevant to our study since they are also PST. We establish sufficient conditions for a multigraph to contain a proper edge-colored Hamiltonian path, depending on several parameters such as the number of edges, the degree of edges, etc.- Since one of the sufficient conditions for the existence of proper spanning trees is connectivity, we prove several upper bounds for the smallest number of colors needed to color a graph such that it is k-proper-connected. We state several conjectures for general and bipartite graphs, and we prove them for k = 1.PARIS11-SCD-Bib. électronique (914719901) / SudocSudocFranceF

Reconstruction 3D à partir d'images tomodensitométriques appliquée en paléontologie et en orthodontie

De nos jours, de plus en plus de domaines scientifiques profitent de l'expansion informatique et introduisent dans leurs activités de nouveaux outils et méthodes de travail. Dans ce cadre, la numérisation et le traitement des données scientifiques jouent un rôle primordial dans le processus de l'exploitation des informations et l'arrivée aux résultats fiables. L'évolution technique et la commercialisation des appareils permettant la numérisation des données ont conduit à une expansion de ce type de traitement informatique au-delà des domaines traditionnels utilisant ces outils comme la médecine ou la CAO. Ainsi nous constatons l'apparition de ces méthodes de travail dans de domaines qui jusque quelque temps avant exploitaient leurs données avec des moyens en dehors de l'informatique, comme par exemple, des moulages pour la paléontologie et des plâtres dentaires pour l'orthodontie. La croissance des champs scientifiques adoptant ces outils de travail a nécessité la création des nouvelles méthodes, l'amélioration des procédés et des algorithmes existant, ainsi que la création des nouvelles applications mieux adaptées aux besoins des spécialistes. La reconstitution 3D est un champ nouveau dans le domaine de l'orthodontie et de la paléontologie. En orthodontie, il s'agit d'obtenir des plâtres dentaires numériques des patients de manière à pouvoir effectuer de mesures (arcades dentaires, dents) et à expérimenter des déplacements d'objets en vue d'une correction dentaire (set up virtuel). Le plâtre dentaire numérique permettra en outre de générer un modèle corrigé avec pose des attaches dentaires lesquelles seront reproduites par stéréo-lithographie. En paléontologie le problème de la reconstitution est posé différemment dans la mesure où les objets sont souvent fragmentaires où présentent des parties manquantes ou peu fiables. En outre chaque objet à reconstituer pose un problème particulier à cause de la variabilité de sa forme et de l'état de sa conservation. Le but recherché est doubled'abord reconstituer un objet à partir des éléments anatomiques existants puis avoir accès à des surfaces cachés de l'objet. Le travail réalisé au cours de cette thèse concerne d'abord l'étude et le choix des méthodes d'acquisitions et de numérisations rapides et efficaces permettant ensuite une reconstruction tridimensionnelle d'objets. Ensuite le développement et la mise en œuvre d'une méthode de reconstruction 3D de deux bassins australopithèques (en paléontologie) et d'un plâtre dentaire (en orthodontie). Parallèlement à la reconstruction 3D, il est nécessaire de développer des outils adéquats permettant le traitement et l'exploitation des données. Ces outils doivent offrir la gestion des informations et des traitements spécifiques à chaque application puis une exploitation fiable des résultats. En effet, le fait de remplacer l'objet physique par un objet numérique nous oblige aussi de travailler dans un environnement virtuel, ce qui demande un changement total de mentalité. La qualité de l'application, et des outils qui constituent ce nouvel environnement est donc essentielle pour être mis au service des scientifiques peu habitués aux nouvelles technologies.3D reconstruction is a new field in the domain of orthodontics and palaeontology. In orthodontics, it is about generating digital dental plasters of patients doing measures (dental arcades, teeth) and experimenting object displacements, in order to make dental corrections (virtual set up). A digital dental plaster allows generating a corrected model by posing dental fastenings produced by stereolithography. In palaeontology the problem of the reconstitution is posed differently because the objects are often fragmented or present missing or not enough reliable parts. Besides, every object faces a particular problem because of the variability of its shape and the state of its conservation. The goal is double, first reconstruct an object then access hidden surfaces of the object from the existing anatomical elements. Work achieved in this thesis concerns first the survey and the choice of the adequate methods of 3D data acquisition, allowing thus fast and robust digitalization, in order to permit a 3D object reconstruction. Then the development of a 3D reconstruction method aiming to reconstruct two australopithecus pelvis (in palaeontology) and dental plasters (in orthodontics). We developed also the adequate tools permitting a 3D treatment for data exploitation. These tools offer in each application information management, specific treatments and a reliable exploitation of results.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF

Exploration des graphes arêtes-colorées (topologie, algorithmes, complexité et (non)-approximabilité)

Les graphes dont les arêtes sont coloriées par c>1 couleurs, avec c un entier donné, autrement dit les graphes c-arêtes-colorées, connaissent un nombre grandissant de champs d applications notamment en biologie moléculaire et en technologie intégrée à très grande échelle sans oublier leur intérêt théorique puisqu ils sont une généralisation des graphes orientés. Dans cette thèse nous explorons ces graphes pour extraire et étudier les structures (i.e., les sous-graphes) dites proprement-arêtes-coloriées c'est-à-dire dans lesquelles chaque paire d arêtes adjacentes sont de couleurs distinctes. Tout d abord, nous avons jugé nécessaire de réserver la première partie de la thèse à un état de l art qui présente les travaux les plus importants et couvre la majorité des questions traitées dans ce domaine depuis les années soixante. En suite, dans une deuxième partie, nous avons commencé par donner des caractérisations de certaines structures proprement-arêtes-coloriées telles que les chaînes et les cycles, et puis nous nous sommes orientés vers la construction des algorithmes, l étude de l aspect de la complexité et l approximabilité d une variété de structures.The graphs which edges are colored with c>1 colors, with c is a given integer, in other words c-edge-colored graphs, have a growing number of fields of applications particularly in molecular biology and VLSI. Their theoretical motivation is obvious sine they are a generalization of digraphs. In the present work, we explore these graphs to extract and study structures (i.e. subgraphs) called properly-edge-colored which every pair of adjacent edges differ in color. We start this work by a part introducing the most notable results in the literature and cover the majority of questions treated in this topic since the sixties. In the second part, first we give characterizations of certain properly-edge-colored structures such as paths and cycles. After that, we were interested by the construction of polynomial algorithms, the study of complexity and approximability aspect of a variety of structures.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF